Question

学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，经过申请--资格认定--初选，已确定甲班有3名同学入围，还有包括乙班在内的四个班各有2名同学入围，若要从这些入围的同学中随机选出5名同学参加该校的自主招生考试．
（1）求在已知甲班恰有2名同学入选的条件下乙班有同学入选的概率；
（2）求甲班入选人数X的期望；
（3）求有且仅有一个班的入选人数超过1人的概率．

Answer 1

分析：（1）在已知甲班恰有2名同学入选的条件下，其余3人来自于其余四班，此时乙班有人入选的概率P1=1-

C 3 6

C 3 8

，由此能够求出结果．
（2）X可取0，1，2，3，分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出EX．
（3）有且仅有一个班的入选人数超过一人的选法有

C

1 4

×2×2×2+

C

1 2

•

C

1 4

•

C

2 3

×2×2+

C

2 3

•

C

3 4

×2×2×2+

C

2 3

•

C

2 4

×2×2=296（种），由此能求出有且仅有一个班的入选人数超过1人的概率．

解答：解：（1）在已知甲班恰有2名同学入选的条件下，其余3人来自于其余四班，
此时乙班有人入选的概率为：
P1=1-

C 3 6

C 3 8

=1-

5

14

=

9

14

．
（2）X可取0，1，2，3，
P（X=0）=

C 5 8

C 5 11

=

4

33

，
P（X=1）=

C 1 3 • C 4 8

C 5 11

=

5

11

，
P（X=2）=

C 2 3 • C 3 8

C 5 11

=

4

11

，
P（X=3）=

C 3 3 • C 2 8

C 5 11

=

2

33

，
∴EX=0×

4

33

+1×

5

11

+2×

4

11

+3×

2

33

=

15

11

．
（3）有且仅有一个班的入选人数超过一人的选法有：

C

1 4

×2×2×2+

C

1 2

•

C

1 4

•

C

2 3

×2×2+

C

2 3

•

C

3 4

×2×2×2+

C

2 3

•

C

2 4

×2×2=296（种），
故有且仅有一个班的入选人数超过1人的概率P₂=

296

C 5 11

=

148

231

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和方差，是中档题．在历年高考中都是必考题型，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．