Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n} 的前n项和为T_n；
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（t＞0），且数列{c_n} 是单调递增数列，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1，得到3a_n=5a_n-a_n-1，进而得到

an

an-1

=

1

2

，再由a₁=2，能求出数列{a_n} 的通项公式．
（2）由（1）知：bn=(2n-1)•22-n，故Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+（2n-1）•2^2-n，利用错位相减法能够求出T_n．
（3）由c_n=n•tⁿ•lgt，c_n＜c_n+1，知n•tⁿ•lgt＜（n+1）•tⁿ⁺¹•lgt，再进行分类讨论，能够求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1，
∴3a_n=5a_n-a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

2

，
∵a₁=2，∴an=2•(

1

2

)n-1=22-n．
（2）∵an=22-n，b_n=（2n-1）a_n，
∴bn=(2n-1)•22-n，
∵数列{b_n} 的前n项和为T_n，
∴Tn=1×2+3×20+5×2-1+…+（2n-1）•2^2-n，
同乘公比得

1

2

Tn=1×20+3×2-1+5×2-2+…+（2n-1）•2^1-n
∴

1

2

Tn=1×2+2×20+2×2-1+2×2^-2+…+2×2^2-n-（2n-1）•2^1-n
=2+4[1-(

1

2

)n-1]-（2n-1）•2^1-n
∴Tn=12-(2n+3)•22-n．
（3）∵c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（t＞0），∴c_n=n•tⁿ•lgt，
∵c_n＜c_n+1，∴n•tⁿ•lgt＜（n+1）•tⁿ⁺¹•lgt，
①当0＜t＜1时，则t＜

n

n+1

对任意正整数恒成立，0＜t＜

1

2

．
②当t＞1时，t＞

n

n+1

对任意正整数恒成立，∴t＞1．
综上可知，实数t的取值范围是（0，

1

2

）∪（1，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、分类讨论思想的灵活运用．