Question

11．在数列{a_n}中，a₁=2，且对于任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*）
（1）求a₂，b₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，且对于任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，令n=2，2+a₂=2²a₂，解得a₂．由数列{b_n}满足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*），可得b₂=a₁+b₁．
（2）对于任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，可得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．再利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：（1）a₁=2，且对于任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
∴2+a₂=2²a₂，解得a₂=$\frac{2}{3}$．
∵数列{b_n}满足b₁=1，b_k+1=a_k+b_k（k∈N^*），
∴b₂=a₁+b₁=2+1=3．
（2）∵对于任意正整数n都有a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，
当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1，
∴a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$$•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}•\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}•\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×2
=$\frac{4}{n（n+1）}$．
当n=1，2时也成立，
∴a_n=$\frac{4}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．