Question

7．如图，已知正三棱锥A-BCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC=2．
（1）求此正三棱锥的体积；
（2）求DE与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意判定正三棱锥的形状，三条侧棱两两垂直，推出是正方体的一个角，然后转化顶点和底面从而求其体积．
（2）由（1）可知DA⊥平面ABC，∠DEA是DE与平面ABC所成角，即可求DE与平面ABC所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵EF∥AC，EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
∵AC⊥BD（正三棱锥性质），
∴AC⊥平面ABD 所以正三棱锥A-BCD是正方体的一个角，
∵BC=2，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）由（1）可知DA⊥平面ABC，∴∠DEA是DE与平面ABC所成角，
∵tan∠DEA=2，∴cos∠DEA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查棱锥的体积，考查线面角，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是基础题．