Question

【题目】定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，当0≤x≤k时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，则k的值为 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2 ， g（x）=x﹣1，
f（x）＜g（x）[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，
∴x∈；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，
∴x∈；
当x∈[2，3）时，[x]=2，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1=3，
∴当x∈[0，3）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=3﹣2=1；
同理可得，当x∈[3，4）时，不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为d=4﹣2=2；
∵不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度为5，
∴k﹣2=5，
∴k=7．
所以答案是：7．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用区间与无穷的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示．