Question

设函数f(x)＝axn(1－x)＋b(x＞0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的最大值．

 

Answer 1

(1) a＝1，b＝0. (2)

【解析】(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.

因为f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.

(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1 .

令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；

而在上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减．

故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f ＝n·＝.