Question

13、平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：CD₁所在的直线与BC₁所在的直线是异面直线．

Answer 1

分析：直接证明CD₁所在的直线与BC₁所在的直线是异面直线，比较困难，可以考虑反证法，假设CD₁所在的直线与BC₁所在的直线不是异面直线．设直线CD₁与BC₁共面α；然后推出矛盾的结论即可．

解答：证明：用反证法，
假设CD₁所在的直线与BC₁所在的直线不是异面直线．
设直线CD₁与BC₁共面α．
∵C，D₁∈CD₁，B，C₁∈BC₁，∴C，D₁，B，C₁∈α．
∵CC₁∥BB₁，∴CC₁，BB₁确定平面BB₁C₁C，
∴C，B，C₁∈平面BB₁C₁C．
∵不共线的三点C，B，C₁只有一个平面，
∴平面α与平面BB₁C₁C重合．
∴D₁∈平面BB₁C₁C，矛盾．
因此，假设错误，即CD₁所在的直线与BC₁所在的直线是异面直线．

点评：本题考查异面直线的证明方法，考查学生应用反证法的能力，是中档题．