Question

12．已知$f（x）=\sqrt{3}sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）当$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）已知$\frac{π}{12}＜α＜\frac{π}{3}$，$f（α）=\frac{6}{5}$，$-\frac{π}{6}＜β＜\frac{π}{12}$，$f（β）=\frac{10}{13}$，求cos（2α-2β）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展开两角和的正弦和余弦，再由辅助角公式化积，由x的范围求得相位的范围，则答案可求；
（Ⅱ）由已知求得sin$（2α+\frac{π}{3}）$，sin（$2β+\frac{π}{3}$），进一步求出对应的余弦值，利用配角方法求得cos（2α-2β）．

解答 解：（I）$f（x）=\sqrt{3}sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+cosxsin（{x+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}{cos^2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\sqrt{3}sinx（cosxcos\frac{π}{6}-sinxsin\frac{π}{6}）$$+cosx（sinxcos\frac{π}{3}+cosxsin\frac{π}{3}）+\sqrt{3}×\frac{1+cos2x}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3}{2}sinxcosx-\frac{\sqrt{3}}{2}si{n}^{2}x+\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}x$$+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
∵$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$），
则$2sin（2x+\frac{π}{3}）$∈$（-\sqrt{3}，2]$；
（II）∵$\frac{π}{12}＜α＜\frac{π}{3}$，$f（α）=\frac{6}{5}$，
∴$2sin（2α+\frac{π}{3}）=\frac{6}{5}$，∴sin$（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{5}$，
$2α+\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}，π$），则$cos（2α+\frac{π}{3}）$=$-\frac{4}{5}$；
∵$-\frac{π}{6}＜β＜\frac{π}{12}$，$f（β）=\frac{10}{13}$，
∴$2sin（2β+\frac{π}{3}）=\frac{10}{13}$，∴$sin（2β+\frac{π}{3}）=\frac{5}{13}$，
$2β+\frac{π}{3}$∈（0，$\frac{π}{2}$），则$cos（2β+\frac{π}{3}）$=$\frac{12}{13}$．
∴cos（2α-2β）=cos[（2$α+\frac{π}{3}$）-（2$β+\frac{π}{3}$）]
=cos（2$α+\frac{π}{3}$）cos（2$β+\frac{π}{3}$）+sin（2$α+\frac{π}{3}$）sin（2$β+\frac{π}{3}$）
=$-\frac{4}{5}×\frac{12}{13}+\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=$-\frac{33}{65}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．