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    （2011•江苏二模）在三角形ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB，AC与M、N两点，设
    AM
    =x
    AB
    ，
    AN
    =y
    AC
    ，(xy≠0)    则4x+y的最小值是
    9
    4
    9
    4
    ．
    分析：用
    AB
      ， 
    AC
     表示出
    EM
     和
    EN
    ，由于
    EM
    、
    EN
    共线，可得 
    EM
    = λ
    EN
    ，且λ＜0，解出 x=
    1-λ
    4
    ，
    y=
    λ-1
    4λ
    ，使用基本不等式求出 4x+y 的最小值．
    解答：解：由题意可得
    AM
    =
    AE
    + 
    EM
    =
    AD
    2
    +
    EM
    =
    AB
    +
    AC
    4
    +
    EM
    =x
    AB
    ，∴
    EM
    =（x-
    1
    4
     ）
    AB
    -
    AC
    4
    ．
    同理可得 
    EN
    =（y-
    1
    4
    ）
    AC
    -
    AB
    4
    ．    由于
    EM
    、
    EN
    共线，∴
    EM
    = λ
    EN
    ，且λ＜0．
    ∴（x-
    1
    4
     ）
    AB
    -
    AC
    4
    =λ[（y-
    1
    4
    ）
    AC
    -
    AB
    4
    ]，∴x-
    1
    4
    =λ（-
    1
    4
    ），且-
    1
    4
    =λ（y-
    1
    4
    ），
    故 x=
    1-λ
    4
    ，y=
    λ-1
    4λ
    ，
    ∴4x+y=1-λ+
    λ-1
    4λ
    =
    5
    4
    +（-λ）+
    1
    -4λ
    ≥
    5
    4
    +2
    1
    4
    =
    9
    4
    ，当且仅当 λ=-
    1
    2
    时，等号成立，
    故答案为：
    9
    4
    ．
    点评：本题考查平面向量基本定理，基本不等式的应用，解出x=
    1-λ
    4
    ，y=
    λ-1
    4λ
    ，是解题的关键，属于中档题．
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    1
    n+1
    ，
    1
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    2
    2
    ．

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