Question

【题目】在某学校组织的一次智力竞赛中，比赛共分为两个环节，其中第一环节竞赛题有A、B两组题，每个选手最多有3次答题机会，答对一道A组题得20分，答对一道B组题得30分．选手可以任意选择答题的顺序，如果前两次得分之和超过30分即停止答题，进入下一环节比赛，否则答3次．某同学正确回答A组题的概率都是p，正确回答B组题的概率都是 ，且回答正确与否相互之间没有影响．该同学选择先答一道B组题，然后都答A组题．已知第一环节比赛结束时该同学得分超过30分的概率为 ．
（1）求p的值；
（2）用ξ表示第一环节比赛结束后该同学的总得分，求随机变量ξ的数学期望；
（3）试比较该同学选择都回答A组题与选择上述方式答题，能进入下一环节竞赛的概率的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设事件A为“该同学答对一道A组题”，事件B为“该同学答对一道B组题”，且事件A，B相互独立，

P（A）=p，P（ ）=1﹣p，P（B）= ，P（ ）= ，

由题意，得：P（ ）=P（ ）+P（B ）+P（BA）= ，

∴ = ，即9p2+9p﹣10=0，

解得p= 或p=﹣ （舍），

∴p= ．

（2）解：依题意ξ的可能取值为0，20，30，40，50．

P（ξ=0）= = = ，

P（ξ=20）= = ，

P（ξ=30）=P（B ）= = ，

P（ξ=40）= = = ，

P（ξ=50）=P（ ）= = ，

ξ的分布列为：

ξ	0	20	30	40	50
P

E（ξ）= = ．

（3）解：设事伯C为“该同学选择都回答A组且得分超过30分”，

则P（C）=P（ ）=2× +（ ）2= ，

由已知得该同学先回答B组题接着都回答A组题得分大于30分的概率为 ，

∵ ，∴该同学都回答A组题能进入下一环节竞赛的概率较大

【解析】（1）设事件A为“该同学答对一道A组题”，事件B为“该同学答对一道B组题”，且事件A，B相互独立，由题意，得：P（ ）=P（ ）+P（B ）+P（BA）= ，由此能求出p．（2）依题意ξ的可能取值为0，20，30，40，50．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望．（3）设事伯C为“该同学选择都回答A组且得分超过30分”，求出P（C）；该同学先回答B组题接着都回答A组题得分大于30分的概率为 ，从而得到该同学都回答A组题能进入下一环节竞赛的概率较大．