Question

10．若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4≤0．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；          
（3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）是奇函数．
∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）f（x）在R上是减函数．
∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
当x＞0时，恒有f（x）＜0．
令x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，且f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）＜0，
由（1）知，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在R上是减函数．
 （3）∵f（2）=1，
∴2f（x）=f（x）+f（x）=f（2x），
f（2）+f（2）=f（4）=1+1=2，
f（4）+f（4）=f（8）=2+2=4，
即不等式f（-x²）+2f（x）+4≤0等价为不等式f（-x²）+f（2x）+f（8）≤0，
即f（-x²+2x）+f（8）≤0，
即f（-x²+2x）≤-f（8）=f（-8），
∵f（x）在R上是减函数，
∴-x²+2x≥-8，
即x²-2x-8≤0，
即-2≤x≤4，
即不等式的解集为[-2，4]．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．