Question

20．已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x_n}是一个公差为2的等差数列，满足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0，则x₂₀₁₅的值为4011．

Answer 1

分析 设x₈=a，则x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，则f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x₈=-3．设数列{x_n}通项x_n=x₁+（n-1）．x₈=x₁+14=-3．x₁=-17．通项x_n=2n-19．由此能求出x₂₀₁₅的值．

解答 解：设x₈=a，则x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，
f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．
∴x₈=-3．
设数列{x_n}通项x_n=x₁+2（n-1）．
∴x₈=x₁+14=-3．解得x₁=-17．
∴通项x_n=2n-19．
∴x₂₀₁₅=2×2015-19=4011．
故答案为：4011．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对称性的合理运用．