Question

（2013•东城区一模）设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a₁，a₂，…，a_n）为B=（b₁，b₂，…b_n）的子数组．定义两个数组A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的关系数为C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若A=(-

1

2

，

1

2

)，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若A=(

3

3

，

3

3

，

3

3

)，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅲ）若数组A=（a₁，a₂，a₃）中的“元”满足a12+a22+a32=1．设数组B_m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b_m1，b_m2，b_m3，b_m4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A与B_m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B_m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依据题意中“元”的含义，可知当S=（-1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．
（Ⅱ）对0是不是S中的“元”进行分类讨论：①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等，及B中a，b，c三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C（A，S）=

3

3

（a+b）的最大值，②当0不是S中的“元”时，只须计算C（A，S）=

3

3

（a+b+c）的最大值即可，最后综上即可得出C（A，S）的最大值．
（Ⅲ）由于B_m=（b_m1，b_m2，b_m3，b_m4）满足bm12+bm22+bm32+bm42=m．及b_m1，b_m2，b_m3，b_m4关系的对称性，只需考虑（b_m2，b_m3，b_m4）与（a₁，a₂，a₃）的关系数的情况．下面分情况讨论：当b_m1=0时，当bm1≠0时，得出a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4的最大值的情况．最后综合得出C（A，B_m）的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）依据题意，当S=（-1，3）时，C（A，S）取得最大值为2．
（Ⅱ）①当0是S中的“元”时，由于A的三个“元”都相等及B中a，b，c三个“元”的对称性，可以只计算C(A，S)=

3

3

(a+b)的最大值，其中a²+b²+c²=1．
由（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（a²+b²）≤2（a²+b²+c²）=2，
得 -

2

≤a+b≤

2

．
当且仅当c=0，且a=b=

2

2

时，a+b达到最大值

2

，
于是C(A，S)=

3

3

(a+b)=

6

3

．
②当0不是S中的“元”时，计算C(A，S)=

3

3

(a+b+c)的最大值，
由于a²+b²+c²=1，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．≤3（a²+b²+c²）=3，
当且仅当a=b=c时，等号成立．
即当a=b=c=

3

3

时，a+b+c取得最大值

3

，此时C(A，S)=

3

3

(a+b+c)=1．
综上所述，C（A，S）的最大值为1．
（Ⅲ）因为B_m=（b_m1，b_m2，b_m3，b_m4）满足bm12+bm22+bm32+bm42=m．
由b_m1，b_m2，b_m3，b_m4关系的对称性，只需考虑（b_m2，b_m3，b_m4）与（a₁，a₂，a₃）的关系数的情况．
当b_m1=0时，有(

bm2

m

)2+(

bm3

m

)2+(

bm4

m

)2=1．a1

bm2

m

+a2

bm3

m

+a3

bm4

m

≤

a 2 1 + b 2 m2 m

2

+

a 2 2 + b 2 m3 m

2

+

a 2 3 + b 2 m4 m

2

=

a12+a22+a32

2

+

b 2 m2 + b 2 m3 + b 2 m4

2m

=

1

2

+

1

2

=1．
即b_m1=0，且a1=

bm2

m

，a2=

bm3

m

，a3=

bm4

m

时，a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4的最大值为

m

．
当bm1≠0时，bm22+bm32+bm42＜m，
得a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4最大值小于

m

．
所以C（A，B_m）的最大值为

m

（m=1，2，3，…，n）．

点评：本小题主要考查函数与方程的综合运用、平均值不等式在函数极值中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．