Question

（2013•西城区一模）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；
（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；
（Ⅲ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．
∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．
在Rt△ACB中，BC=

1

2

AB，∴∠CAB=30°，
∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，
∴CB=DC=1，
∴FC=1．
∴△BCD的面积S=

1

2

×12×sin120°=

3

4

．
∴四面体FBCD的体积为：VF-BCD=

1

3

S•FC=

3

12

．
（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：
连接CE与DF交于点N，连接MN．
由 CDEF为正方形，得N为CE中点．
∴EA∥MN．
∵MN?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．