Question

半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.则四边形OACB的面积最大值是          。

Answer 1

2＋

解析:

设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得

AB²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，于是，四边形OACB的面积为

S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²

＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

＝sinα－cosα＋

＝2sin(α－)＋

∵0＜α＜π，

∴当α－＝，α＝π，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大为2＋.