(本小题12分)
如图,在三棱锥中,侧面
、
是全等的直角三角形,
是公共的斜边,且
,
,另一个侧面是正三角形.
(I)求证:;
(II)求二面角的余弦值;
(III)在直线是否存在一点
,使直线
与面
成
角?若存在,确定
的位置;若不存在,说明理由.
(1)见解析(2)(3)
该几何体可以视作从正方体中取出而得,如图所示.因此采用补形的思想方法入手解答.
(I)作面
于
,连结
,
,
,则四边形
是正方形,且
,以
为原点,以
所在直线为
轴,以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系如图. 1分
则,
,
,
,
易得,
3分
(II)设平面的法向量为
,则由
且
知
则可取 5分
同理可求得平面的一个法向量为
6分
由图可以看出,二面角的大小应等于
则,即所求二面角的余弦值为
. 8分
(III)设是线段
上一点,则
,
.
易知平面的一个法向量可取
,要使直线
与平面
成
角,则
与
的夹角为
或
,
所以 10分
解得,则
故线段上存在点
,且
时,直线
与平面
成
角 12分
科目:高中数学 来源:浏阳一中、田中高三年级2009年下期期末联考试题 数学试题 题型:解答题
(本小题12分)
如图,曲线是以原点
为中心,以
、
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以
为顶点,以
为焦点的抛物线的一部分,
是曲线
和
的交点,且
为钝角,若
,
.
(I)求曲线和
所在的椭圆和抛物线的方程;
(II)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线
、
依次交于
、
、
、
四点(如图),若
为
的中点,
为
的中点,问
是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2010-2011年新疆农七七师高级中学高二下学期第一学段考试理科数学 题型:解答题
(本小题12分)
如图,<
<
<…<
)是曲线C
:
上的n个点,点
在x轴的正半轴上,且⊿
是正三角形(
是坐标原点)。
(1)写出
(2)求出点的横坐标
关于n的表达式并用数学归纳法证明
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江西省协作体高三第三次联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题12分)如图,直三棱柱中,
,
为
中点,若规定主视方向为垂直于平面
的方向,则可求得三棱柱左视图的面积为
;
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
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科目:高中数学 来源:2011年四川省高2013届春期重点班第一学月考试数学试题 题型:解答题
(本小题12分)如图,B、A是某海面上位于东西方向相距海里的两个观测点。现位于B点正北方向、A点北偏东
方向的C点有一艘轮船发出求救信号,位于B点北偏西
、A点北偏西
的D点的救援船立即前往营救,其航行速度为
海里/小时.问该救援船到达C点需要多少时间?
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科目:高中数学 来源:2011-2012年福建省四地六校高二第二次月考文科数学 题型:解答题
(本小题12分)
如图4:求的算法的
程序框图。⑴标号①处填 。标号②处填 。⑵根据框图用直到型(UNTIL)语句编写程序。
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