Question

已知函数f(x)=e^x(e是自然对数的底数)的图像为曲线C₁，函数g(x)=ax的图像为曲线C₂．

(1)若曲线C₁与C₂没有公共点，求满足条件的实数a组成的集合A；

(2)当a∈A时，平移曲线C₂得到曲线C₃，使得曲线C₃与曲线C₁相交于不同的两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，求证：a＞f′()．

Answer 1

解：(1)因为曲线C₁与C₂没有公共点，则必有a＞0，且曲线C₁在曲线C₂的上方．

令h(x)=e^x-ax，则h′(x)=e^x-a，

令h′(x)=0得x=lna，

当x＜lna时，有h′(x)＜0，则h(x)在(-∞，lna)上为减函数；

当x＞lna时，有h′(x)＞0，则h(x)在(lnA，+∞)上为增函数．

所以当x=lna时有h(x)_min=h(lna)=a-alna＞0，即0＜a＜e，所以满足条件的实数a组成的集合A=(0，1)． 

(2)不等式等价于，即．

令x₂-x₁=2t，则t＞0，＞0．

令φ(t)=e^2t-2te^t-1，则

φ′(t)=2e^2t-2te^t-2e^t=2e^t(e^t-t-1)．

令ω(t)=e^t-t-1，则ω′(t)=e^t-1＞0，

所以ω(t)=e^t-t-1在(0，+∞)上为增函数，

故ω(t)＞ω(0)=0，所以φ′(t)＞0，

故φ(t)=e^2t-2te^t-1在(0，+∞)上为增函数，

所以φ(t)＞φ(0)=0，

即e2^t-2te^t-1＞0，所以原不等式成立.