已知数列{an}的前n和Sn满足:S1=-1,Sn+1+2Sn=-1(n∈N*)数列{bn}的通项公式为bn=3n-4(n∈N*)
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)试比较an与bn的大小;
(III)某圆的圆心C在x轴上,问点列{An(bn,an)}:A1(b1,a1),A2(b2,a2),…,An(bn,an)中是否至少存在三点落在圆C上?说明理由.
分析:(I)Sn+1+2Sn=-1,再写一式Sn+2+2Sn+1=-1,两式相减整理得an+2=-2an+1从而可知数列{an}是首项为-1,公比为-2的等比数列,故可求其通项公式
(II)由于a1=-1,b1=-1;a2=2,b2=2;a4=8,b4=8;∴当n=1,2,4时,an=bn,再考虑n=2k+1时,an<bn;当n=2k(k≥3)时,an>bn即可;
(III)假设存在,利用圆心C在x轴上,故可设圆C的方程为:x2+y2+Dx+F=0,代入化简可证.
解答:解:(I)∵S
n+1+2S
n=-1,∴S
n+2+2S
n+1=-1,两式相减整理得a
n+2=-2a
n+1…(2分)又a
1=S
1=-1,a
2=-2a
1,∴数列{a
n}是首项为-1,公比为-2的等比数列,其通项公式是a
n=-(-2)
n-1(n∈N
*) …(4分)
(II)(1)a
1=-1,b
1=-1;a
2=2,b
2=2;a
4=8,b
4=8;∴当n=1,2,4时,a
n=b
n …(6分)
(2)当n=2k+1时,a
2k+1=-(-2)
2k<0,b
2k+1=6k-1>0,∴a
n<b
n…(7分)
(3)当当n=2k(k≥3)时a
2k=2
2k-1≥16(C
2k-50+C
2k-51)=32k-64,b
2k=6k-4,∴a
n-b
n≥26k-60≥18>0即a
n>b
n…(9分)
(III)假设点列{An(b
n,a
n)}中存在三点A
n(3n-4,-(-2)
n-1),A
m(3m-4,-(-2)
n-1),A
k(3k-4,-(-2)
k-1)(n>m>k≥1)落在圆C上.
因圆心C在x轴上,故可设圆C的方程为:x
2+y
2+Dx+F=0.…(10分)
从而9n
2-24n+16+4
n-1+(3n-4)D+F=0 ①
9m
2-24m+16+4
m-1+(3m-4)D+F=0 ②
9k
2-24k+16+4
k-1+(3k-4)D+F=0 ③
由①-②,②-③得9(n+m)(n-m)-24(n-m)+(4
n-1-4
m-1)+3(n-m)D=0④
9(m+k)(m-k)-24(m-k)+(4
m-1-4
k-1)+3(m-k)D=0 ⑤
由④-⑤整理得
9(n-k)+[(-)+(n-m)]=0,∵n>m>k≥1,∴
<…(12分)
作函数
f(x)=(x≥1)由
f/(x)=>0(x≥1)知函数
f(x)=(x≥1)是增函数.产生矛盾.
故点列{An(b
n,a
n)}中不存在三点落在圆C上.…(14分)
点评:本题第(I)问是常规题,(III)有一定的技巧与难度,属于中档题.