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过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P(x,y),
(1)求y
(2)求证:直线AB恒过定点;
(3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数λ,使恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)设A,B的坐标,求得直线PA、PB的方程,利用,可得y
(2)求出直线AB的方程,令x=0,结合(1)的结论,即可证得直线AB恒过定点;
(3)利用坐标表示向量,结合数量积公式,即可得到结论.
解答:(1)解:设,(x1≠x2).
由x2=4y,得:,∴
,∴PA⊥PB,∴x1x2=-4.
直线PA的方程是:,即.①
同理,直线PB的方程是:.②
由①②得:,(x1,x2∈R).…(4分)
(2)证明:由(1)可得直线AB的方程为
令x=0,可得
,∴y=1
∴直线AB恒过点(0,1)…(8分)
(3)解:由(1)得:,x1x2=-4,

,∴


故存在λ=1使得.…(12分)
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直线恒过定点,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
PA
PB
=0

(1)求点P的轨迹方程;
(2)已知点F(0,1),是否存在实数λ使得
FA
FB
+λ(
FP
)2=0
?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•道里区二模)过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P(x0,y0),
PA
PB
=0

(Ⅰ)求y0
(Ⅱ)求证:直线AB恒过定点;
(Ⅲ)设(Ⅱ)中直线AB恒过定点为F,若
FA
FB
+λ(
FP
)2=0
恒成立,求λ的值.

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PA
PB
=0

(1)求y0
(2)求证:直线AB恒过定点;
(3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数λ,使
FA
FB
+λ(
FP
)2=0
恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
PA
PB
=0

(1)求点P的轨迹方程;
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FA
FB
+λ(
FP
)2=0
?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011年福建省南平市高三适应性考试数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)已知点F(0,1),是否存在实数λ使得?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.

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