Question

a,b,c∈R,求证:a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c),当且仅当a=b=c时取等号.

Answer 1

思路分析:由于a⁴+b⁴≥2a²b²,说明了运用基本不等式,可以找到左式与中间式的关系.同样地,a²b²+b²c²≥2ab²c,而ab²c就是右式中的一项.

证明：∵a⁴+b⁴≥2a²b²,b⁴+c⁴≥2b²c²,c⁴+a⁴≥2a²c²,

∴2(a⁴+b⁴+c⁴)≥2(a²b²+b²c²+c²a²),

即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a².

又∵a²b²+b²c²≥2ab²c,

b²c²+c²a²≥2bc²a,

c²a²+a²b²≥2a²bc,

∴2(a²b²+b²c²+c²a²)≥2(ab²c+bc²a+a²bc),

即a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c).

以上各式当且仅当a=b=c时取等号.