Question

已知在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）求证：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD₁与平面D₁EC成的角为

π

6

？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连AD₁，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁为D₁E在平面AD₁的射影，利用三垂线定理可得结论；
（Ⅱ）求出A到平面D₁EC的距离，利用等体积，建立方程，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：连AD₁，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD₁为D₁E在平面AD₁的射影，
而AD=AA₁=1，则四边形ADD₁A₁是正方形，∴A₁D⊥AD₁，由三垂线定理得D₁E⊥A₁D； 
（Ⅱ）解：设AE=x，则∵AD₁与平面D₁EC成的角为

π

6

，AD₁=

2

，∴A到平面D₁EC的距离为

2

2

．
在△D₁EC中，D₁E=

2+x2

，EC=

1+(2-x)2

，D₁C=

5

，∴cos∠ED₁C=

2x+1

5 • 2+x2

，
∴sin∠ED₁C=

x2-4x+9

5 • 2+x2

，
∴S△D1EC=

1

2

D₁E•D₁Csin∠ED₁C=

x2-4x+9

2

．
∵VD1-AEC=VA-D1EC，
∴

1

3

•

1

2

x•1•1=

1

3

•

x2-4x+9

2

•

2

2

，
∴x²+4x-9=0，
∴x=

13

-2，
故存在，AE=

13

-2，使得AD₁与平面D₁EC成的角为

π

6

．

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．