Question

【题目】为贯彻“激情工作，快乐数学”的理念，某学校在学习之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为 ．
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：选手甲答3道题进入决赛的概率为 ，

选手甲答4道题进入决赛的概率为 ，

∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P= + =

（2）解：依题意，ξ的可能取值为3，4，5．

则有 ，

，

，

ξ	3	4	5
P

∴Eξ=3× +4× +5× =

【解析】（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为 ，选手甲答4道题进入决赛的概率为 ，由此能求出选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和ξ的数学期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．