Question

5．已知正三棱柱ABC-A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．
（1）求二面角A′-B′C-C′的余弦值；
（2）求线段DE的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面B′CC′与平面A′B′C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A′-B′C-C′的余弦值；
（2）设D（0，0，t）（0≤t≤$\sqrt{3}$），E（x，y，z），由$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CA′}$，结合DE∥平面BCC′B′把λ用含有t的代数式表示，然后求出$|\overrightarrow{DE}|$的最小值得答案．

解答 解：（1）如图，∵ABC-A′B′C′为正三棱柱，G是BC的中点，
∴AG⊥平面BCC′B′，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则G（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，0，0），B′（1，4，0），A′（0，4，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{CA′}$=（1，4，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CB′}=（2，4，0）$，
平面B′CC′的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，
设平面A′B′C的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA′}=x+4y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB′}=2x+4y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得x=-2，z=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{n}=（-2，1，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1×\sqrt{4+1+\frac{4}{3}}}$=$-\frac{2\sqrt{19}}{19}$．
∴二面角A′-B′C-C′的余弦值为$\frac{2\sqrt{19}}{19}$；
（2）设D（0，0，t）（0≤t≤$\sqrt{3}$），E（x，y，z），
则$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CA′}$，∴（x+1，y，z）=（λ，4λ，$\sqrt{3}λ$），即x=λ-1，y=4λ，z=$\sqrt{3}λ$．
∴E（λ-1，4λ，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{DE}$=（λ-1，4λ，$\sqrt{3}λ-t$），
由DE∥平面BCC′B′，得$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=\sqrt{3}λ-t=0$，得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}t$．
∴$|\overrightarrow{DE}|=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}t-1）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}}{3}t）^{2}}$=$\sqrt{\frac{17}{3}{t}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+1}$，
当t=$\frac{\sqrt{3}}{17}$时，$|\overrightarrow{DE}|$有最小值$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴线段DE的最小值为$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，考查数学转化思想方法，属中档题．