Question

14．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，点E、F分别为PC、PA的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求三棱锥F-ABE的体积．

Answer 1

分析 （几何法）（1）证明：PB⊥AC，$BE⊥AC\\ 由PB=BC．E是PC的中点，得BE⊥PC\\ 而AC∩PC=C$，然后证明$BE⊥平面PAC\end{array}$
（2）利用V_F-ABE=V_E-ABF=$\frac{1}{2}$V_E-ABP=$\frac{1}{4}{V}_{C-ABP}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABC}$，转化求解即可．
（向量法）以点C为原点建立空间直角坐标系C-XYZ（其中Z轴∥PB），（1）通过数量积证明BE⊥CA，结合BE⊥CP，证明BE⊥平面PAC，
（2）利用V_F-ABE=V_E-ABF，求得平面ABF的一个法向量，然后求出E到平面ABF的距离，然后求解体积．

解答 （几何法）（1）证明：∵PB⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴PB⊥AC，又∠BCA=90°，即AC⊥BC，而PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
又BE?平面PBC，∴$BE⊥AC\\ 由PB=BC．E是PC的中点，得BE⊥PC\\ 而AC∩PC=C$，∴$BE⊥平面PAC\end{array}$
（2）解：V_F-ABE=V_E-ABF=$\frac{1}{2}$=
V_E-ABP=$\frac{1}{4}{V}_{C-ABP}$=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABC}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PB$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$=$\frac{8}{3}$．
（向量法）如图，以点C为原点建立空间直角坐标系C-XYZ（其中Z轴∥PB），
由已知，得：

C（0，0，0），A（0，4，0），B（4，0，0），P（4，0，4），E（2，0，2），F（2，2，2）
（1）证明：$\overrightarrow{BE}=（{-2，0，2}），\overrightarrow{CA}=（{0，4，0}），\overrightarrow{CP}=（{4，0，4}）$，
$\begin{array}{c}∴\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CA}=-2×0+0×4+2×0=0\end{array}\right.$$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}=-2×4+0×0+2×4=-8+8=0$，
∴BE⊥CA且BE⊥CP，故BE⊥平面PAC，
（2）由题意可知V_F-ABE=V_E-ABF，
${S_{△ABF}}=\frac{1}{2}{S_{△PAB}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4=4\sqrt{2}$
又由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}=（{4，-4，0}）}\\{\overrightarrow{AF}=（{2，-2，2}）}\end{array}}\right.$可求得平面ABF的一个法向量$\overrightarrow n=（{1，1，0}）$
而$\overrightarrow{AE}=（{2，-4，2}）$，∴E到平面ABF的距离$d=\left|{\left.{\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}}}{{\left|{\left.{\overrightarrow n}\right|}\right.}}}\right|}\right.=\left|{\left.{\frac{2-4}{{\sqrt{2}}}}\right|}\right.=\sqrt{2}$
∴${V_{F-ABE}}={V_{E-ABF}}=\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•d=\frac{1}{3}×4\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{8}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，几何法与向量法的应用，考查转化思想以及逻辑推理能力．