Question

设函数 
(1)当时，求函数的最大值；
(2)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤ 恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

(1);(2); (3)

解析试题分析：（1）利用导数分析函数的单调性，然后由单调性确定函数的最值；（2）先由导函数求出点P处的切线斜率，然后由恒成立条件，转化为求k的最大值，从而求出实数的取值范围；（3）构建函数模型，利用函数的增减性，分析出方程有唯一解，即函数有唯一零点的情况，从而得出正数m的值.
试题解析：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），
当，，
令， 解得x=1，（∵x＞0），
当时，，此时f（x）单调递增，
当x＞1时，，此时f（x）单调递减，
所以f（x）的极大值为，此即为最大值.
（2），则有上恒成立，
所以，当取得最大值，所以.
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则，令，
因为，
当上单调递减；
当上单调递增；
当，
则，所以，
因为m＞0，所以，（*）
设函数，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解，
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为,即，解得.
考点：1.利用导数求函数的最值；2.用化归与转化思想处理恒成立问题；3.利用函数模型处理方程的实根分布