Question

已知f（x）=e^x+ax²-bx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（e+1）x-y-2=0，
（I）求f（x）的解析式；
（II）当x≥0时，若关于x的不等式f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=e+1，利用直线的点斜式方程可求a，b
（II）f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

等价于

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

≥m，令g（x）=

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

只需m≤g（x）min即可．

解答：解：（I）f′（x）=e^x+2ax-b，由已知，切线斜率为f′（1）=e+2a-b=e+1，①又点（1，f（1））在切线上，所以（e+1）-（e+a-b）-2=0，②
①②联立解得a=2，b=3，所以f（x）=e^x+2x²-3x
（II）由（I）得：f（x）=e^x+2x²-3x
从而f（x）≥

5

2

x²+（m-3）x+

1

2

等价于

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

≥m
令g（x）=

ex

x

-

1

2

x-

1

2x

则g′（x）=

xex-ex

x2

-

1

2

+

1

2x2

=

(x-1)(2ex-x-1)

2x2

由于（2e^x-x-1）′=2e^x-1＞0（x≥0）所以（2e^x-x-1）min=1＞0
当x＞1时，g′（x）＞0，当1＞x≥0时，g′（x）＜0，所以g（x）在[0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
g（x）min=g（1）=e-1，所以m≤e-1．

点评：题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，分离参数的方法解决恒成立问题