分析 (1)利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义,由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB),整体代入式子坐标由诱导公式化简可得;
(2)结合(1)的结论设比例系数为k,求出k,得到tanA、tanB、tanC,利用三角函数的基本公式求出sinA,sinB,sinC,结合正弦定理求a:b:c.
解答 (1)证明:∵△ABC不是直角三角形,
∴A、B、C均不为直角,
且A+B+C=π,任意两角和不为$\frac{π}{2}$,
由两角和的正切公式可得tan(A+B)=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$,
∴tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
=tan(π-C)(1-tanAtanB)
=-tanC(1-tanAtanB)
∴tanA+tanB+tanC
=-tanC(1-tanAtanB)+tanC
=tanAtanBtanC;
(2)由tanA:tanB:tanC=6:(-2):(-3),
设tanA=6k,tanB=-2k,tanC=-3k,
代入(1)得到k=36k3,因为△ABC非直角三角形,并且最多一个钝角,所以k=-$\frac{1}{6}$,
即tanA=-1,tanB=$\frac{1}{3}$,tanC=$\frac{1}{2}$,所以A=135°,sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
所以a:b:c=sinA:sinB:sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{10}}{10}:\frac{\sqrt{5}}{5}$=5$\sqrt{2}$:$\sqrt{10}$:2$\sqrt{5}$.
点评 本题考查了三角函数的两角和公式以及正弦定理的运用;属于中档题.
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A. | -$\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{8}$ | C. | -$\frac{4}{7}$ | D. | $\frac{4}{7}$ |
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A. | 3π | B. | 4π | C. | 5π | D. | 6π |
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