Question

16．△ABC中（非直角三角形），角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）若tanA：tanB：tanC=6：（-2）：（-3），求a：b：c．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理以及由题意可得各个正切有意义，由两角和的正切公式变形可得tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），整体代入式子坐标由诱导公式化简可得；
（2）结合（1）的结论设比例系数为k，求出k，得到tanA、tanB、tanC，利用三角函数的基本公式求出sinA，sinB，sinC，结合正弦定理求a：b：c．

解答 （1）证明：∵△ABC不是直角三角形，
∴A、B、C均不为直角，
且A+B+C=π，任意两角和不为$\frac{π}{2}$，
由两角和的正切公式可得tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
=tan（π-C）（1-tanAtanB）
=-tanC（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC
=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanAtanBtanC；
（2）由tanA：tanB：tanC=6：（-2）：（-3），
设tanA=6k，tanB=-2k，tanC=-3k，
代入（1）得到k=36k³，因为△ABC非直角三角形，并且最多一个钝角，所以k=-$\frac{1}{6}$，
即tanA=-1，tanB=$\frac{1}{3}$，tanC=$\frac{1}{2}$，所以A=135°，sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}：\frac{\sqrt{10}}{10}：\frac{\sqrt{5}}{5}$=5$\sqrt{2}$：$\sqrt{10}$：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角函数的两角和公式以及正弦定理的运用；属于中档题．