Question

已知双曲线y²-x²=1，过上焦点F₂的直线与下支交于A、B两点，且线段AF₂、BF₂的长度分别为m、n．
（1）证明mn≥1；
（2）若m＞n，当直线AB的斜率时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）双曲线焦点为．设直线AB的方程为．k=0时，mn=1．当代入双曲线方程，消去x得．由双曲线的第二定义，知，，mn＞1．由此可知知mn≥1．
（2）设直线AB的方程为，代入双曲线方程，得．由韦达定理知．，所以．
，．消去，由此能求出的取值范围．
解答：解：（1）由题设知双曲线上焦点为．
设直线AB的方程为．
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．
当代入双曲线方程，消去x得．（2分）（4分）
由双曲线的第二定义，知，（8分）
∴．
综上，知mn≥1．（10分）
（2）设直线AB的方程为，代入双曲线方程，消去y并整理得．
∴．（8分）
，
∴．
∴，①
．②
由①②，消去，
即③（12分）
由，
∴，即为所求．（14分）
点评：本题考查直线秘圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．