Question

已知圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点为圆心的圆N与圆M相内切．
（1）求圆N的方程；
（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围；
（3）过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：化简圆M的方程为：x²+y²-2x-2y-6=0，为标准方程，求出圆心和半径．
（1）判定圆心N在圆M内部，因而内切，用|MN|=R-r，求圆N的方程；
（2）根据圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，列出关系，再求•的表达式的取值范围；
（3）直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k．得到直线MA的方程，直线MB的方程，联立方程组，求出AB的斜率，判定与MN的斜率是否相等即可．
解答：解：圆M的方程可整理为：（x-1）²+（y-1）²=8，故圆心M（1，1），半径R=2．
（1）圆N的圆心为（0，0），
因为|MN|=＜2，所以点N在圆M内，
故圆N只能内切于圆M．
设其半径为r．
因为圆N内切于圆M，
所以有：|MN|=|R-r|，
即=|2-r|，解得r=．
或r=3（舍去）；
所以圆N的方程为
x²+y²=2．
（2）由题意可知：E（-，0），F（，0）．
设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即：×=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
而=（--x，-y），
=（-x，-y），•
=（--x）（-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，由于点D在圆N内，
故有，由此得y²＜，所以•∈[-1，0）．
（3）因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，
且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为-k．故直线MA的方程为
y-1=k（x-1），
直线MB的方程为
y-1=-k（x-1），
由，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因为点M在圆N上，故其横坐标x=1一定是该方程的解，
可得x_A=，
同理可得：x_B=，
所以k_AB==
=
=1=k_MN．
所以，直线AB和MN一定平行．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，等差数列的性质，圆的公切线方程等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．