Question

如图已知椭圆的中点在原点，焦点在x轴上，长轴是短轴的2倍且过点，平行于的直线在y轴的截距为，且交椭圆与两点，

（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求证：直线、与x轴围成一个等腰三角形，说明理由.

Answer 1

(1)；（2）；（3）详见解析

解析试题分析：直线和圆锥曲线位置关系问题，一般要将直线方程和圆锥曲线方程联立，同时要注意其隐含条件（），得关于某一个未知数的一元二次方程，利用韦达定理建立参数的等量关系或者不等关系，从而确定参数的值或者取值范围，（1）由椭圆焦点在轴，先设椭圆标准方程为，由已知得关于 ，的方程组，解，；（2）注意条件“平行于的直线交椭圆与两点”，设直线方程为y=x+m，与椭圆联立，得关于的一元二次方程，，得的取值范围（注意）；（3）只需证明斜率互为相反数先设，则,，结合韦达定理证明；
试题解析：（1）设椭圆方程为（a>b>0）
则    ∴椭圆方程；
（2）∵直线∥DM且在y轴上的截距为m，∴y=x+m
由
∵与椭圆交于A、B两点∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）；
（3）设直线MA、MB斜率分别为k₁,k₂，则只要证：k₁+k₂=0
设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,则k₁=,k₂=
由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4
而k₁+k₂=+=（*）
又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m
∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（x₂+m-1）（x₁-2）
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）
=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）=0
∴k₁+k₂=0,证之.
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、韦达定理.