Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且a_n+S_n=1
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$，当n≥2时可推得2a_n=a_n-1，从而证明；
（2）化简b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，从而求前n项和．

解答 解：（1）证明：当n=1时，${a_1}=\frac{1}{2}$，
当n≥2时，a_n-1+S_n-1=1，a_n+S_n=1；
∴2a_n=a_n-1，
若a_n-1=0，则a_n=0与${a_1}=\frac{1}{2}$矛盾；
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴T_n=$2n-2+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了等比数列的判断与应用，同时考查了数列前n项和的求法，属于中档题．