Question

12．已知函数f（x）=4sinωxcos（ωx+$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$（ω＞0）．
（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值取得最值时x的值；
（2）若y=f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，可得周期和最值；
（2）由三角函数的单调性和题意可得[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]?[$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{5π}{12ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{12ω}$]对某个k∈Z成立可得ω范围，可得最大值．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=4sinωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx）+2$\sqrt{3}$
=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$sin²ωx）+2$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx+$\sqrt{3}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
当x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）取最小值-1$+\sqrt{3}$；当x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取最大值2$+\sqrt{3}$；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{5π}{12ω}$≤x≤$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{12ω}$，k∈Z，
由题意可得[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]?[$\frac{kπ}{ω}$-$\frac{5π}{12ω}$，$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{π}{12ω}$]对某个k∈Z成立，
必有k=0时，-$\frac{5π}{12ω}$≤-$\frac{π}{4}$且$\frac{π}{12ω}$≥$\frac{π}{6}$，解得ω≤$\frac{1}{2}$，
∴ω的最大值为$\frac{1}{2}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和单调性，属中档题．