Question

若a＞2，则函数f（x）=

1

3

x³-ax²+1在区间（0，2）上恰好有

1

个零点．

Answer 1

分析：由已知中a＞2，可得f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0即函数在区间（0，2）上有零点，进而根据f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），当a＞2时，在区间（0，2）上f′（x）＜0恒成立，可得函数在区间（0，2）上递减，至多有一个零点，可得答案．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³-ax²+1
∴f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），当a＞2时
在区间（0，2）上f′（x）＜0恒成立
即函数f（x）=

1

3

x³-ax²+1区间（0，2）上为减函数
又∵f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0
故函数f（x）=

1

3

x³-ax²+1在区间（0，2）上有且只有一个零点
故答案为1

点评：本题考查的知识点是函数零点判定定理，其中正确理解单调函数在区间上至多有一个零点，是解答本题的关键．