Question

【题目】已知f(x)＝x2－a|x－1|－1，a∈R．

（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围；

（3）写出f(x)在[－2，2]上的最大值g(a)．(不需要解答过程)

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(－∞，2]（3）

【解析】

（1）验证即可；

（2）对恒成立，则对恒成立，分类讨论，即可求的取值范围；

（3）分类讨论，去掉绝对值符号，即可写出在，上的最大值．

解：（1）当a＝0时，f(x)＝x2－1，f(x)为偶函数，

任意x∈R，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

当时，所以非奇非偶.

（2）当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－a(x－1)－1＝(x－1)(x＋1－a)．

x＝1时，由f(x)≥0成立，得a∈R；

x＞1时，由f(x)≥0恒成立，得(x－1)(x＋1－a)≥0恒成立，

即x＋1－a≥0恒成立，所以a≤x＋1对x＞1恒成立，

所以a≤2．

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

（3）f(x)＝x2－a|x－1|－1＝

因为函数f(x)＝x2－ax＋a－1在[1，2]上的最大值＝max{f(1)，f(2)}；

f(x)＝x2＋ax－a－1在[－2，1]上的最大值＝max{f(1)，f(－2)}．

所以g(a)＝max{f(－2)，f(1)，f(2)}＝max{3－3a，0，3－a}

＝