Question

13．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）的值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 先由图象关于直线x=1对称得f（2-x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+4）=f（x），得f（x）是以4为周期的周期函数再求解．

解答 解：∵图象关于直线x=1对称，∴f（2-x）=f（x），
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
f（2+x）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数．
∵f（1）=-1，f（2）=-f（0）=0，f（3）=f（2+1）=-f（1）=1，f（4）=f（4+0）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的，属于中档题．