Question

已知抛物线y²=8x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-

2

，

3

）．
（1）求椭圆方程；
（2）点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程；
（3）过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y²=8x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F，确定c=2，利用椭圆过点D（-

2

，

3

），代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆方程；
（2）确定⊙M的方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得直线l的方程；
（3）设AP、AQ的方程代入椭圆方程，求得P，Q的坐标，可得直线PQ的方程，令x=0，即可得到直线PQ过定点．

解答：解：（1）抛物线y²=8x的焦点F（2，0），
∵抛物线y²=8x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F，∴c=2，
又椭圆过点D（-

2

，

3

），∴

2

a2

+

3

a2-4

=1，得a²=8，b²=4
∴所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由题意，A（0，2），B（0，-2），C（2

2

，0），则
设M（m，0），由|MA|=|MC|，可得m²+4=（2

2

-m）²，∴m=

2

2

，m²+4=

9

2

，
∴⊙M：（x-

2

2

）²+y²=

9

2

直线l斜率不存在时，x=-

2

直线l斜率存在时，设为y-

3

=k（x+

2

）
∴d=

| 2 k 2 + 2 k+ 3 |

k2+1

=

3

2

，解得k=-

6

12

∴直线l为x=-

2

或

6

x+12y-10

3

=0；
（3）显然，两直线斜率存在，设AP：y=k′x+2
代入椭圆方程，得（1+2k′²）x²+8k′x=0，解得x=

-8k′

1+2k′2

或x=0
∴点P（

-8k′

1+2k′2

，

2-4k′2

1+2k′2

）
同理得Q（

8k′

2+k′2

，

2k′2-4

2+k′2

）
直线PQ：y-

2-4k′2

1+2k′2

=

k′2-1

3k′

（x-

-8k′

1+2k′2

）             
令x=0，得y=

2-4k′2

1+2k′2

-

k′2-1

3k′

•

-8k′

1+2k′2

=-

2

3

，
∴直线PQ过定点（0，-

2

3

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，属于中档题．