Question

14．已知tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{7}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），则tanα的值是-$\frac{3}{4}$；sin²α+sinαcosα的值是$-\frac{3}{25}$； $cos（{α-\frac{π}{6}}）$的值是$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知及两角和的正切函数公式可得tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{1}{7}$，即可解得tanα的值，利用同角三角函数关系式可得sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$即可求值；由范围α∈（$\frac{π}{2}$，π），
可求cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$，sinα的值，利用两角差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{1}{7}$，∴解得：tanα=-$\frac{3}{4}$，
∴sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$-\frac{3}{25}$．
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$
∴$cos（{α-\frac{π}{6}}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$α+\frac{1}{2}sinα$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{4}{5}）$+$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．
故答案为：-$\frac{3}{4}$，$-\frac{3}{25}$，$\frac{{3-4\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．