【题目】已知函数,且上的最大值为.
求函数的解析式;
判断在内的零点的个数,并加以证明.
【答案】(1) (2) 函数在内恰有两个零点
【解析】
(1)函数恒成立转化为在上恒成立,即,令,利用函数的导数,求出即可.
(2),求出导函数,判断函数的单调性,判断函数的零点,通过当时,当时,令,利用函数的导数求解函数的极值,转化求解函数的零点个数即可。
(1)因为,所以,,所以
由题意,在上恒成立,且能取到等号
即在上恒成立,且能取到等号,即
令,则
所以函数在上单调递增,
所以,解得,
所以。
(2)因为
当时,因为,所以函数在上单调递增
因为,所以函数在上有唯一零点
当时,令
因为,所以函数即当时单调递减
又因为,所以存在唯一使
所以当时,;当时,
所以在上单调递增,在上单调递减
注意到,,所以
所以函数在上没有零点,在上有唯一零点,
由得函数在内恰有两个零点。
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【题目】已知函数的部分图象如图所示,分别是图象的最高点与相邻的最低点,且,,为坐标原点.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象,求函数的值域.
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【题目】已知函数(,)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4,且有一个零点为.
(1)求函数的解析式;
(2)若,且,求的值;
(3)若在上恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】现有边长分别3,4,5的三角形两个,边长分别4,5,的三角形四个,边长分别为,4,5的三角形六个.用上述三角形为面,可以拼成______个四面体.
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【题目】某手机生产企业为了解消费者对某款手机的认同情况,通过销售部随机抽取50名购买该款手机的消费者,并发出问卷调查(满分50分),该问卷只有20份给予回复,这20份的评分如下:
男 | 47,36,28,48,48,44,50,46,50,37,35,49 |
女 | 38,37,50,36,38,45,29,39 |
(1)完成下面的茎叶图,并求12名男消费者评分的中位数与8名女消费者评分的众数及平均值;
男 | 女 | |
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 |
满意 | 不满意 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)若大于40分为“满意”,否则为“不满意”,完成上面的列联表,并判断是否有95%的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关;
(3)若从回复的20名消费者中按性别用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取2人作进一步调查,求至少有1名女性消费者被抽到的概率.
附:
0.05 | 0.025 | 0.01 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】给出以下关于线性方程组解的个数的命题.
①,②,③,④,
(1)方程组①可能有无穷多组解;
(2)方程组②可能有且只有两组不同的解;
(3)方程组③可能有且只有唯一一组解;
(4)方程组④可能有且只有唯一一组解.
其中真命题的序号为________________.
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【题目】在数列中,已知,对于任意的,有.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列满足,求数列的通项公式.
(3)设,是否存在实数,当时,恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知圆心C在直线上的圆过两点,.
(1)求圆C的方程;
(2)若直线与圆C相交于A,B两点,①当时,求AB的方程;②在y轴上是否存在定点M,使,若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.
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