分析 (1)求出原函数的导函数,得到f′(2),由f′(2)=-3,且f(2)=2联立方程组求得a,b的值,则函数解析式可求;
(2)分别由导函数大于0和小于0求得原函数的增区间及减区间,即可求出函数 f (x)的极值.
解答 解:(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与直线y=-3x+8相切于点P(2,2),
∴f'(2)=-3,f(2)=2.
∵f'(x)=3x2+2ax+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}8+4a+2b=2\\ 3×{2^2}+2a×2+b=-3\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=9\end{array}\right.$.
(2)由(1)可知f(x)=x3-6x2+9x,
∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
令f′(x)=0,得x=1或x=3
令f'(x)>0,得x<1或x>3; 令f'(x)<0,得1<x<3.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(3,+∞);单调递减区间为(1,3).
∴当x=1时,函数f(x)取得极大值f(1)=4,
当x=3时,函数f(x)取得极小值f(3)=0.
点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的单调性与极值,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,-1) | B. | (-1,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,-1)和(1,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{x^2}{4}$+y2=1 | B. | $\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{6}$=1 | C. | $\frac{x^2}{2}$+y2=1 | D. | $\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | 6 | C. | 4$\sqrt{2}$ | D. | 3+2$\sqrt{2}$ |
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