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11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(I) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$>2016的n的最小值.

分析 (I)∵Sn+n=2an(n∈N*),当n=1时,a1+1=2a1,解得a1.当n≥2时,Sn-1+n-1=2an-1,可得an+1=2(an-1+1).利用等比数列的通项公式即可得出.
(II)bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)•2n,利用等比数列的前n项和公式可得:Tn.代入不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$>2016化简即可得出.

解答 解:(I)∵Sn+n=2an(n∈N*),∴当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1.
当n≥2时,Sn-1+n-1=2an-1,相减可得:an+1=2an-2an-1,化为an=2an-1+1,变形为an+1=2(an-1+1).
∴数列{an+1}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴an+1=2n
∴${a_n}={2^n}-1$.
(II)bn=(2n+1)an+2n+1=(2n+1)•2n
∴数列{bn}的前n项和为Tn=3×2+5×22+×23+…+(2n+1)•2n
2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1
∴-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)•2n+1=$\frac{2({2}^{n+1}-1)}{2-1}$-(2n+1)•2n+1=(1-2n)•2n+1-2,
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2.
∴满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$>2016化为:2n+1>2016,
解得n≥10.
∴满足不等式$\frac{{T}_{n}-2}{2n-1}$>2016的n的最小值为10.

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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