Question

已知函数f（x）=-x³+6x²-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x₀，y₀），将过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ 有三个不同实数根，记g（x）=2x₀³-3x₀²-12x₀+9，g'（x）=6x²-6x-12=6x（x-1）（x-2），下面利用导数研究函数g（x）的极值点，从而求得m的范围．

解答：解：设过点P（-1，m）的切线切曲线于点（x₀，y₀），
则切线的斜率k=f'（x₀）=-3x₀²+12x₀-9…（2分）
所以切线方程为y=（-3y₀²+12x₀-9）（x+1）+m…（4分）
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ …（5分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀ 有三个不同实数根…（7分）
∴m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9 
令g（x）=2x₀³-3x₀²-12x₀+9
则g'（x）=6x²-6x-12=6x（x-1）（x-2）…（10分）
当x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
又g（x）有极大值16；g（x）有极小值-11…（12分）
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16   …（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．