Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

．
（1）若函数f（x）区间(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

（n∈N^*，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

Answer 1

分析：（1）求出函数f(x)=

1+lnx

x

的极值，在探讨函数在区间(a，a+

1

3

)(a＞0)上存在极值，寻找关于a的不等式，求出实数a的取值范围；
（2）如果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，把k分离出来，转化为求k的范围．
（3）借助于（2）的结论根据叠加法证明不等式：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

．

解答：解：1）解：函数f(x)=

1+lnx

x

的定义域为（0，+∞），
f′（x）=(

1

x

+

lnx

x

)′=-

1

x2

+

1 x •x-lnx

x2

=-

lnx

x2

．
由f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，由f′（x）＜0，
∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
函数f （x）在x=1处取得唯一的极值
由题意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

，解得

2

3

＜a＜1，故所求实数a的取值范围为(

2

3

，1)．
（2）当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立化为：

1+lnx

x

≥

k

x+1

，
即k≤

(x+1)(1+lnx)

x

在[1，+∞）恒成立，
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

(x≥1)，则g′(x)=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，h （x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)=

x-lnx

x2

=

h(x)

x2

＞0，∴g （x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）_max=g（1）=2，
因此，k≤2，即实数k的取值范围为（-∞，2]；
（3）证明：由（2）知，当x≥1时，不等式f(x)≥

2

x+1

恒成立，
即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，整理得：lnx≥1-

2

x-1

＞1-

2

x

令x=k（k+1），k∈N^*，则有ln[k(k+1)]＞1-2(

1

k

-

1

k+1

)
分别令k=1，2，3，…，n，则有ln（1×2）＞1-2（1-

1

2

），ln（2×3）＞1-2（

1

2

-

1

3

），
…，ln[n（n+1）]＞1-2（

1

n

-

1

n+1

）
将这n个不等式左右两边分别相加，得
叠加得：ln[1×2²×3²×…n²×（n+1）]＞n-2（1-

1

n+1

）=n-2+

2

n+1

，
则1×2²×3²×…n²×（n+1）＞en-2+

2

n+1

，
所以：[(n+1)!]2＞(n+1)en-2+

2

n+1

（n∈N^*）

点评：此题主要考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，证明数列不等式，借助函数的单调性或恒成立问题加以证明．属难题．