Question

平面内动点M与点P₁（-2，0），P₂（2，0），所成直线的斜率分别为k₁、k₂，且满足k1k2=-

1

2

．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|．
（1）求k的值；
（2）若点N(

2

，1)，求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由k1•k2=-

1

2

，可得方程

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，化简即得点M的轨迹E的方程，从而可得E的曲线类型；
（Ⅱ）（1）由于|AC|=|BD|，所以CD中点就是AB中点，先求AB的中点为Q(-

m

2k

，

m

2

)，再将l：y=kx+m与（Ⅰ）中方程联立，利用中点坐标公式可求k的值；
（2）利用弦长公式求CD长，再求点N到CD的距离，从而可表示出面积，利用基本不等式求△NCD面积的最大值，从而求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-

1

2

，∴

y

x+2

•

y

x-2

=-

1

2

，
即

x2

4

+

y2

2

=1(y≠0)
动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±

2

，0）的椭圆（除去长轴两个端点．）它的方程是

x2

4

+

y2

2

=1(y≠0)．
（Ⅱ）（1）在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得A(-

m

k

，0)，B(0，m)，AB的中点为Q(-

m

2k

，

m

2

)
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-4

1+2k2

，∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，即-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，4k2=1+2k2，k2=

1

2

，∵k＞0，∴k=

2

2

(2)|CD|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+ 1 2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

•

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

点N到CD的距离d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|，S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2)

2

)=

2

当且仅当4-m²=m²时等号成立，即m2=2，m=±

2

，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=

2

2

x±

2

．

点评：本题主要考查曲线的轨迹方程与轨迹，应注意区分轨迹方程与轨迹，把不满足条件的点舍去．对于直线与曲线的位置关系问题，通常利用联立方程组的方法，一般要借助于根与系数的关系求解．