Question

（2008•临沂二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有

MN

⊥

AF

；
（Ⅱ）若λ=1时，有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当

AM

•

AN

×tan∠MAN的值为6

3

时，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）通过λ=1时，

MF

=

FN

，M、N两点在椭圆上，求出x1=x2，然后通过数量积证明

MN

⊥

AF

．
（II）当λ=1时，不妨设M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），通过λ=1时，有

AM

•

AN

，求出a，b，得到椭圆的方程．
（III）由

AM

•

AN

×tan∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|，分别讨论当直线MN与x轴垂直时和当直线MN与x轴不垂直时，满足条件的MN的方程，综合讨论结果可得答案．

解答：证明：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0）
则

MF

=（c-x₁，-y₁），

FN

=（x₂-c，y₂），
当λ=1时，

MF

=

FN

∴c-x₁=x₂-c且-y₁=y₂
∴x₁+x₂=2c且-y₁=y₂
∵M、N两点在椭圆C上，
∴

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)
故

x

2 1

=

x

2 2

，即|x₁|=|x₂|，由x₁+x₂=2c可得x₁=x₂=c
∴

MN

=（0，2y₂），

AF

=（c+4，0）
∴

MN

•

AF

=0
∴

MN

⊥

AF

；
解：（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，

b2

a

），N（c，-

b2

a

），

AM

•

AN

=（c+4）²-

b4

a2

=

106

3

，
因为a²=

3

2

，b2=

1

2

c2，
∴

5

6

c2+8c+16=

106

3

，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故椭圆的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（III）

AM

•

AN

×tan∠MAN=|

AM

|•|

AN

|•sin∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|
当直线MN与x轴垂直时，|y₁-y₂|=

2 6

3

，
|AF||y₁-y₂|=6×

2 6

3

=4

6

不满足条件
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）
由

y=k(x-2) x2 6 + y2 2 =1

得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0
∴|y₁-y₂|=

24k4+24k2

1+3k2

∴6×

24k4+24k2

1+3k2

=6

3

即k⁴-2k²+1=0
∴k²=1，解得k=±1
故直线MN的方程为：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0

点评：本题考查椭圆的简单性质，向量在几何中的应用，椭圆的标准方程，考查函数与方程的思想，计算能力．