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    19．已知点O在△ABC的内部，且有$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC=4：2：3．

    分析 （1）由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得O是△ABC的重心，故S△AOB=S△BOC=S△AOC，得出答案；
    （2）延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．

    解答 解：若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则O是△ABC的重心，∴S△AOB=S△BOC=S△AOC=$\frac{1}{3}$S△ABC，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1．
    若2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：
    则$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$，∴O是△DEF的重心，∴S△DOE=S△EOF=S△DOF．
    ∴S△AOB=$\frac{1}{2}OA•OBsin∠AOB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$OD×$\frac{1}{3}OE$sin∠AOB=$\frac{1}{6}$S△DOE，
    S△BOC=$\frac{1}{2}OB•OCsin∠BOC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}OE×\frac{1}{4}$OFsin∠BOC=$\frac{1}{12}$S△EOF，
    S△AOC=$\frac{1}{2}OA•OCsin∠AOC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}OD×\frac{1}{4}$OFsin∠BOC=$\frac{1}{8}$S△DOF，
    ∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=$\frac{1}{6}$：$\frac{1}{12}$：$\frac{1}{8}$=4：2：3．
    故答案为1：1：1，4：2：3．

    点评 本题考查的知识点是三角形面积公式，三角形重心的性质，平面向量在几何中的应用，是中档题．

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