【题目】已知函数(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程
恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】当时,f(x)单调递减,必须满足
≥0,故0<a≤
,此时函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,若f(x)在R上单调递减,还需
,即
,所以
.
结合函数图象,当x≥0时,函数y=|f(x)|的图象和直线y=2x有且只有一个公共点,即当x≥0时,方程|f(x)|=2x只有一个实数解.因此,只需当x<0时,方程|f(x)|=2x恰有一个实数解.
根据已知条件可得,当x<0时,f(x)>0,即只需方程f(x)=2x恰有一个实数解,即,即
在(∞,0)上恰有唯一的实数解,
判别式,
因为,所以
.
当3a2<0,即a<时,方程
有一个正实根、一个负实根,满足要求;
当3a2=0,即a=时,方程
的一个根为0,一个根为
,满足要求;
当3a2>0,即<a<
时,因为 (2a1)<0,此时方程
有两个负实根,不满足要求;
当a=时,方程
有两个相等的负实根,满足要求.
综上可知,实数a的取值范围是.故选C.
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【题目】已知函数f(x)=sin(πx+ )和函数g(x)=cos(πx+
)在区间[﹣
,
]上的图象交于A,B,C三点,则△ABC的面积是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4
,PA=2,点M在PD上.
(1)求证:AB⊥PC
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°,求 的值.
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【题目】函数f(x)=loga(3﹣ax)(a>0,a≠1)
(1)当a=2时,求函数f(x)的定义域;
(2)是否存在实数a,使函数f(x)在[1,2]递减,并且最大值为1,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为9.
(1)分别求出m,n的值;
(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 和s
,并由此分析两组技工的加工水平;
(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若两人加工的合格零件个数之和大于17,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.
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【题目】现在的安卓手机盛行一款“心有灵犀”的猜数字游戏,具体的规则如下:
玩家随机输入0~5中的三位数字(数字不重复),按“OK”键确定答案是否正确,手机会给出“xAyB”的提示,其中“xA”表示你输入的三位数字中,有“x”个数字和位置都与答案相同,其中“yB”表示你输入的三位数字中,有“y”个数字与答案相同,但是位置不同,例如:答案为“012”,当你输入“132”时会显示:“1A1B”.
(1)当你第一次输入时,手机显示“1A1B”的概率为多少?
(2)当你第一次输入时,且手机显示“xA2B”时,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且椭圆
过点
,记椭圆
的左、右顶点分别为
,点
是椭圆
上异于
的点,直线
与直线
分别交于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作椭圆
的切线
,记
,且
,求
的值.
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