Question

(理)设x₁、x₂(x₁≠x₂)是函数f(x)=ax³+bx²-a²x(a＞0)的两个极值点.

(1)若x₁=-1,x₂=2,求函数f(x)的解析式;

(2)若|x₁|+|x₂|=,求b的最大值;

(3)若x₁＜x＜x₂,且x₂=a,函数g(x)=f′(x)-a(x-x₁),求证:|g(x)|≤a(3a+2)².

(文)如图,N为圆x²+(y-2)²=4上的点,OM为直径,连结MN并延长交x轴于点C,过C引直线垂直于x轴,且与弦ON的延长线交于点D.

(1)已知点N(,1),求点D的坐标;

(2)若点N沿着圆周运动,求点D的轨迹E的方程;

(3)设P(0,a)(a＞0),Q是点P关于原点的对称点,直线l过点P交曲线E于A、B两点,点H在射线QB上,且AH⊥PQ,求证:不论l绕点P怎样转动,恒有.

Answer 1

答案：(理)解:f′(x)=3ax²+2bx-a²(a＞0).

(1)∵x₁=-1,x₂=2是函数f(x)的两个极值点,∴f′(-1)=0,f′(2)=0.∴3a-2b-a²=0,12a+4b-a²=0,解得a=6,b=-9.∴f(x)=6x³-9x²-36x.

(2)∵x₁、x₂是f(x)的两个极值点,∴f′(x₁)=f′(x₂)=0.∴x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根.∵Δ=4b²+12a³,∴Δ＞0对一切a＞0,b∈R恒成立.x₁+x₂=,x₁+x₂=,∵a＞0,∴x₁·x₂＜0.∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=.

由|x₁|+|x₂|=22,得,∴b²=3a²(6-a).∵b²≥0,∴3a²(6-a)≥0.∴0＜a≤6.

令h(a)=3a²(6-a),则h′(a)=-9a²+36a.

当0＜a＜4时,h′(a)＞0,∴h(a)在(0,4)上是增函数;

当4＜a＜6时,h′(a)＜0,∴h(a)在(4,6)上是减函数.

∴当a=4时,h(a)有极大值为96.∴h(a)在(0,6]上的最大值是96.∴b的最大值是.

(3)∵x₁、x₂是方程f′(x)=0的两根,∴f′(x)=3a(x-x₁)(x-x₂).

∴|g(x)|=3a|x-x₁|·|x-x₂-|≤3a².

∵x₁＜x＜x₂,∴x-x₁＞0,x-x₂＜0.∴|g(x)|≤[(x-x₁)-(x-x₂-)]²=(x₂-x₁+)².

∵x₁·x₂=,x₂=a,∴x₁=-.∴|g(x)|≤·(a++)²=a(3a+2)².

(文)(1)∵M(0,4)、N(,1),∴MN所在直线的方程为,

即y=x+4.令y=0,得x,∴C(,0).又ON所在直线方程为y=x,

由得y=.∴点D坐标为(,).

(2)∵M(0,4),O(0,0),设D(x,y),N(x₁,y₁),∴C(x,0).

过N作NK⊥OC于K,则NK∥CD∥OM,∴,即.①

,即.②

由①②,得∵点N在圆x²+(y-2)²=4上,

∴x₁²+(y₁-2)²=4,即()²+(-2)²=4.整理,得x²=4y.

(3)∵直线l过点P(0,a)且交曲线x²=4y于A、B两点,故可设直线l的方程为y=kx+a,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).

由得x²-4kx-4a=0,∴x₁x₂=-4a.

设P分的比为λ,则,且=0,∴λ=.

又∵Q(0,-a),∴=(0,2a),=(x₂,y₂+a),=(x₁,y₁+a).

∵点H在射线QB上,设=m·,则

=m·=(mx₂-x₁,my₂-y₁-(1-m)a),

∵AH⊥PQ,∴=0,即2a[my₂-y₁-(1-m)a]=0.∵a≠0,y₁=x₁²,y₂=x₂²,

m·-(1-m)a=0,m·+x₁x₂=0,m·x₂²-x₁²+(1-m)x₁x₂=0,

()²+(m-1)-m=0,λ²-(m-1)λ-m=0,(λ-m)(λ+1)=0,

∵λ≠-1,∴λ=m.依题意,得λ＞0,m＞0,

∴λ=,m=.∴=.