Question

（2009•台州二模）直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（4，0），动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=x²．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=x²，建立方程，化简即可得到结论；
（Ⅱ）设出直线l₁，l₂的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线的定义，求出|MN|、|RQ|，表示出面积，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意：动点M（x，y）满足

MO

•

ME

=x²，
∴（-x，-y）•（4-x，-y）=x²，即y²=4x为点M的轨迹方程．…（4分）
（Ⅱ）由题易知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，不妨设MN方程为y=k（x-1）
与y²=4x联立得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2k2+4

k2

由抛物线定义知：|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=

4(k2+1)

k2

…（7分）
同理RQ的方程为y=-

1

k

(x-1)，求得|RQ|=4（k²+1）．…（9分）
∴SMRNQ=

1

2

|MN|•|RQ|=8

(k2+1)2

k2

=8(k2+

1

k2

+2)≥32．  …（13分）
当且仅当k²=1，k=±1时取“=”，
故四边形MRNQ的面积的最小值为32．…（15分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．