Question

已知点集，其中，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，（n∈N⁺）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若，求
（3）若，是否存在k∈N⁺，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）
∴L={（x，y）|y=2x+1}，则P₁点的坐标是（0，1）
∴a₁=0
又∵等差数列{a_n}的公差为1，
∴a_n=n-1，
∴点列P_n（a_n，b_n）在L中，
∴b_n=2a_n+1=2n-1
（2）当n≥2时，点P_n（a_n，b_n）的坐标为（n-1，2n-1），
∴
    ，
所以
（3）假设存在满足条件的k，则
1°当k是偶数时，k+11为奇数，则f（k+11）=k+10，f（k）=2k-1，由f（k+10）=2f（k），得k=4；
2°当k为奇数时，k+11为偶数，则f（k+11）=2k+21，f（k）=k-1，由f（k+11）=2f（k），方程无解．
综上得到存在k=4符合题意．
分析：（1）根据所给的向量的坐标，做出向量的数量积，根据点的坐标，得到数列的首项，根据公差做出通项，根据点列P_n（a_n，b_n）在L中，得到b_n=2a_n+1=2n-1
（2）根据所给的点P_n（a_n，b_n）的坐标为（n-1，2n-1），表示出数列的通项，并且整理变化利用裂项法做出数列的请n项和，求出和的极限．
（3）需要针对于k的奇偶性进行讨论，当k是偶数时，k+11为奇数，代入适合的分段函数得k=4； 当k为奇数时，k+11为偶数，代入符合的分段函数得到方程无解．
点评：本题考查数列的求和，数列的极限，是一个综合题目，本题解题的关键是求出数列的通项，本题是一个易错题，第三问容易忽略对于n的奇偶性不同，所得的结果不同．