Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，P（x，y）为椭圆C在第一象限上一点，A，B为椭圆与x轴正半轴的交点，y轴正半轴的交点．
（1）求x+2y的最大值；
（2）M（k，0）（k＞0），求PM的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），即有x+2y=2cosα+2$\sqrt{3}$sinα=4sin（α+$\frac{π}{6}$），再由正弦函数的最值即可得到所求最大值；
（2）由P在椭圆上，满足椭圆方程，以及两点的距离公式，配方化简整理可得|PM|的关系式，运用二次函数的最值的求法，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
可设P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有x+2y=2cosα+2$\sqrt{3}$sinα=4sin（α+$\frac{π}{6}$），
由0＜α＜$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
当α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即α=$\frac{π}{3}$时，sin（α+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
则x+2y的最大值为4；
（2）由P（x，y）在椭圆上可得，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即有y²=3（1-$\frac{{x}^{2}}{4}$），（0＜x＜2），
则有|PM|=$\sqrt{（x-k）^{2}+{y}^{2}}$
=$\sqrt{（x-k）^{2}+3（1-\frac{{x}^{2}}{4}）}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}^{2}-2kx+3+{k}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}（x-4k）^{2}+3（1-{k}^{2}）}$，
设f（x）=$\frac{1}{4}$（x-4k）²+3（1-k²），
当4k≥2即k≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间（0，2）递减，无最小值；
当0＜4k＜2，即0＜k＜$\frac{1}{2}$时，f（x）在x=4k处取得最小值，且为3（1-k²），
故当k≥$\frac{1}{2}$时，|PM|无最小值；当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，|PM|的最小值为$\sqrt{3-3{k}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查二次函数的最值的求法，属于中档题．